O descriere a istoriei ideilor care au
condus la apariţia teoriei Kaluza-Klein
Bogdan Suceavă
Assistant Professor
Departamentul de Matematică,California
State University, Fullerton
Adrian
I. Vâjiac
Assistant Professor
Departamentul de Matematică şi
Informatică, Chapman University, Orange, California
Manualele de teoria grafurilor încep prin a invoca o
legendă. Oraşul Königsberg era aşezat pe râul Preger, iar
geografia lui includea şi două insule. Între cele două insule,
precum şi între insule şi malurile râului se aflau în prima
jumătate a veacului XVIII un număr de şapte poduri. Se spune
că Leonhard Euler ar fi încercat, în decursul unei plimbări, să
descopere o rută prin care să traverseze fiecare pod exact o
dată şi să revină la punctul de plecare. Legenda e
acoperită de realitate: Leonhard Euler a scris, în anul 1736, lucrarea
intitulata Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis în care a
demonstrat că o astfel de rută nu este posibilă. În aceeaşi
lucrare el a enunţat şi demonstrat caracterizarea suficientă a
grafurilor pentru care o astfel rută este posibilă, teoremă care
face ca anecdota să însoţească întotdeauna prezentarea
rezulatului matematic, în chip de justificare a problemei. Astfel, oraşul
Königsberg cel de acum aproape trei sute de ani a rămas acoperit de o
aură de legendă. Într-adevăr, oare ce alt oraş din lume are
harta din veacul al XVIII-lea în fiecare manual dintr-o anumită
specialitate?
Königsbergul a avut parte în decursul istoriei sale de
locuitori celebri, iar atmosfera de interacţiune şi intensă
comunicare ştiinţifică din jurul universităţii a creat
un mediu propice pentru dezvoltarea noilor idei. Între acei locuitori celebri,
figură aparte face Christian Goldbach (1690-1764), de la care ne-a
rămas moştenire o celebră conjectură din teoria numerelor,
nerezolvată nici până astăzi: Orice număr par mai mare
strict decât 2 este suma a două numere prime. Tot în Königsberg au
trăit şi au lucrat şi filozoful Immanuel Kant (1724-1804),
şi unul dintre fondatorii literaturii fantastice moderne, Ernst Theodor
Amadeus Hoffman (1776-1822), şi fizicianul G.R. Kirchhoff (1824-1887) sau,
deloc în cele din urmă, matematicianul care a regândit fundamentele
geometriei, David Hilbert (1862-1943).
Mare parte din contextul cultural neobişnuit al
acestui oraş se datorează tradiţiei Universităţii
Albertine a Königsbergului, fondată în 1544 de Albrecht de Brandeburg în
vechea provincie poloneză care purta numele de Ducatul Prusiei. La
înfiinţare, universitatea avea patru colegii: de teologie, de
medicină, de filozofie şi de drept, după structura şi
tipicul universităţilor din epocă. Primul ei rector a fost
poetul Georg Sabinus, iar între rectorii ei celebri se află şi
Immanuel Kant. La finele secolului XIX şi începutul secolului XX
universitatea a devenit celebră pentru şcoala ei de matematică,
în special graţie lui David Hilbert şi lui Hermann Minkowski
(1864-1909). În afară de faptul că a fost unul dintre profesorii lui
Albert Einstein la Institutul Politehnic Federal din Zurich, Minkowski a
devenit celebru pentru contribuţiile sale în teoria numerelor (volumul Geometrie
der Zahlen a apărut la Leipzig în 1896), în teoria
inegalităţilor, precum şi în geometria diferenţială.
De fapt, un mare pas înainte în istoria teoriei relativităţii i se
datorează lui Minkowski, şi e vorba despre un studiu completat în
ultimii doi ani din viaţă ai autorului (care s-a stins în mod
neaşteptat, în urma unei complicaţii legate de apendicită,
într-o vreme când astfel de lucruri nu erau la fel de uşor de
soluţionat de medicină ca azi). Minkowski a avut revelaţia
că teoria specială a relativităţii, introdusă în 1905
de Einstein şi bazată pe lucrările lui Lorentz şi Poincaré,
poate fi cel mai bine înţeasă în contextul unui spaţiu patru-dimensional,
cunoscut de atunci sub numele de spaţiu Minkowski. Ideea
fundamentală a lui Minkowski a fost că timpul şi spaţiul nu
sunt două entităţi separate, ci că ambele contribuie la
realizarea unui spaţiu cu patru dimensiuni în care geometria Lorentz a
teoriei relativităţii speciale poate fi reprezentată.
*
Nu ne propunem să detaliem aici cercetările
recente în domeniul fizicii matematice sau ale geometriei diferenţiale. Ne
propunem doar să înfăţişăm contextul ideilor în care
interacţiunea interdisciplinară a permis naşterea unei teorii de
mare profunzime şi de maximă importanţă în cercetarea din
ultimul secol. Problemele deschise atunci nu şi-au găsit încă o
completă rezolvare, iar istoria dezvoltării domeniilor amintite mai
sus e în continuare deschisă.
Theodor Franz Eduard Kaluza s-a născut în 1885 în
familia lui Max Kaluza, un specialist în limba şi literatura engleză.
Era o familie de origine germană, cu o tradiţie de peste trei veacuri
în zona Ratiborului. Theodor Kaluza şi-a urmat studiile la Universitatea
din Königsberg, şi tot acolo şi-a completat şi studiile
doctorale sub conducerea lui Friedrich Wilhelm Franz Meyer (1856-1934). Teza
lui de doctorat, asupra transformarilor Tschirnhaus, a fost publicată în
1910 în Archiv der Mathematik und Physik. După 1909, Theodor Kaluza
a devenit Privatdozent la Universitatea din Königsberg, o poziţie care nu
era deloc bine plătită. În general, în epocă, majoritatea
universitarilor erau promovaţi după numai câţiva ani în care
lucraseră ca Privatdozent, dar în atmosfera extrem de competitivă din
Königsbergul acelor ani, Kaluza a rămas pe acea poziţie
inferioară vreme de douăzeci de ani. Această situaţie nu
reflectă o lipsă de calitate academică din partea lui Kaluza, ci
ca o măsură a exigenţelor din mediul universitar al acelor
vremuri.
În aprilie 1919, Kaluza i-a scris lui Einstein pentru a-i
descrie ideile sale de a cuprinde într-o teorie unitară teoria
gravitaţiei a lui Einstein şi teoria lui Maxwell asupra luminii.
Lucrarea a fost intitulată Zum Unitätsproblem der Physik şi a
apărut în Sitzungsberichte Preussische Akademie der Wissenschaften 96 (1921), lucrare comunicată de
Einstein către revistă pe data de 8 decembrie 1921. Ecuaţiile
rezultante în teoria lui Kaluza pot fi separate într-un alt set de ecuaţii,
una dintre care este echivalentă cu ecuaţiile câmpului ale lui
Einstein, iar un alt grup echivalent cu ecuaţiile lui Maxwell pentru
câmpul electromagnetic, iar partea finala
arelaţiei este dată de un termen care, în terminologia
actuală, se numeşte radion. Marea noutate a teoriei lui
Kaluza, aşa cum se arată într-un studiu recent (vezi [Overduin,
Wesson, 1998] ) este „impunerea unei restricţii cumva artificiale
(aşa-numita condiţie cilindrică) asupra coordonatelor, împiedicând
cea de-a cincea coordonată să-şi facă simţită
prezenţa în legile fizicii.” A fost rolul lui Oskar Klein, câţiva ani
mai târziu, în 1926, să facă aceste restricţii mai puţin
artificiale, sugerând o bază fizică mai plauzibilă în contextul
compactificării spaţiului pentadimensional. Această
direcţie de gândire a condus, de-a lungul secolului douăzeci, la
teoria 11-dimensională a supergravitaţiei în anii 1980, şi apoi
la căutarea diverselor „teorii ale totului”.
În fapt, întreaga noastră experienţă ne
sugerează că lumea în care trăim noi nu are decât trei
dimensiuni. Dacă am încerca să trasăm discuţia despre
dimensiune în ordine istorică, ar trebui menţionat că,
reflectând asupra acestei probleme, Johannes Kepler a speculat că acest
lucru ar putea fi în legătură cu natura triadică a Sfintei
Treimi (vezi [Overduin, Wesson, 1998]). Cu toată percepţia
diferită din epoca respectivă, e clar că fizicienii şi
astronomii şi-au ridicat această problemă din cele mai vechi
timpuri. În vremurile moderne, domeniul geometriei a fost teritoriul în care
s-au născut şi s-ar reflectat adevărate revoluţii imprimate
de diverse şcoli de gândire. Pentru a aşeza într-un context geometric
ideile de la începutul veacului douăzeci, ar trebui amintit că
după descoperirea geometriei ne-euclidiene, datorată lui Janos Bolyai
si N. I. Lobachevski, un alt moment de turnură al gândirii a fost
programul de la Erlangen, prezentat de Felix Klein în 1872. Ca urmare a direcţiei de gândire
deschise de Progamul de Erlangen, matematica a căpătat o organizare
şi o structurare neegalată în perioadele precedente. În acel context
de idei s-a aşternut terenul pentru marile construcţii teoretice de
la începutul secolului XX. Ca urmare a contribuţiei lui Klein, multă
vreme s-a considerat că interesante nu sunt rezultatele particulare, izolate,
de factură calculatorie sau anecdotică, ci că interesante sunt
ideile care rămân neschimbate atunci când diverse modificări
structurale acţionează asupra lor. Mai precis spus, remarcabile sunt
principiile care se află în spatele lucrurilor reale, asemănările,
analogiile, cele care pot fi cuprinse într-un principiu comun, într-un trunchi
invariant. Aceasta e ideea sugerată de Programul de la Erlangen şi în
multe domenii ale matematicii influenţa ideilor lui Felix Klein s-a făcut
resimţită. Ulterior, mai multe domenii, între care şi
fundamentele geometriei, au căpătat o nouă haină
axiomatică, graţie contribuţiei lui David Hilbert, o
construcţie încheiată la începutul secolului XX. La finele secolului XIX,
unul dintre cele mai cuprinzătoare şi citate tratate de geometrie
diferenţială a fost cel în patru volume, scris de Gaston Darboux. În
1907, Gheorghe Ţiţeica, care şi-a susţinut teza de doctorat
cu Darboux, a definit un invariant afin care a dat naştere geometriei diferenţiale
afine, iar în perioada 1921-1929 Wilhelm Blaschke a publicat tratatul său
în trei volume intitulat Vorlesungen über Differentialgeometrie, al
cărui al treilea volum era în particular îndatorat spiritului programului
de la Erlangen al lui Klein. Jurnalele ştiinţifice de la începutul
secolului XX au publicat numeroase studii pe teme de axiomatică. De la
fundamente către aplicaţii, întreaga matematică îşi
reaşeza informaţia şi se ridica spre o nouă şi mai
generală treaptă de organizare structurală. Acesta a fost
contextul de idei în care Theodor Kaluza a imaginat recursul la o altă
dimensiune, în speranţa de a unifica teoriile lui Einstein şi
Maxwell.
Pentru a explica ideile fundamentale ale teoriei
introduse de Theodor Kaluza, am putea începe prin a arăta că
evenimentele pe care le vedem şi pe care le descriem în general ţin
de un spaţiu cu 3+1 dimensiuni, primele trei dimensiuni specificând
poziţia, iar cea de-a patra timpul. Forţele acţionând asupra
unor obiecte şi influenţându-le traiectoriile au fost descrise în
limbajul câmpurilor tensoriale definite pe un spaţiu cu patru dimensiuni,
pe care fizicienii îl numesc „spaţiul evenimentelor”. Se întâmplă ca,
în unele situaţii, teoria capătă o formă mai simplă
dacă presupunem că ceea ce vedem e doar o umbră, doar o
proiecţie, doar o reflectare în formă redusă dimensional, a unor
fenomene care au loc într-un spaţiu care are mai mult de patru dimensiuni.
Teoriile relativităţii restrânse şi relativităţii
generale au permis unificarea câmpului electric şi a celui magnetic,
într-un acelaşi hipercâmp (vezi, de exemplu, pentru o prezentare
curprinzătoare a aspectelor matematice [Surin, 1965]). Relativitatea
generală apare satisfăcătoare în ceea ce priveşte teoria
câmpului gravitaţional pur. Cu toate acestea, relativitatea generală
„nu este o teorie veritabilă a electromagnetismului” (vezi [Surin, 1965]).
De aici numeroasele încercări de a găsi un spaţiu de dimensiune
superioară lui patru şi care să curpindă, într-un
înveliş conceptual satisfăcător cât mai multe aspecte teoretice.
În particular, conceptul de submersie Riemann a fost unul dintre cadrurile
teoretice considerate potrivite pentru studiu de alţi autori. În volumul [Hermann, 1978], se
precizează: „Teoria unificării câmpului a lui Kaluza-Klein este una
dintre cele mai plauzibile forme de a „geometriza” câmpul electromagnetic.” În
volumul citat, Robert Hermann, unul dintre autorii care, alături de B.
Reihart şi de Barrett O‘Neill, a avut o contribuţie importantă
în studiul submersiilor Riemann, a reformulat în termenii geometriei
diferenţiale moderne teoria clasică Kaluza-Klein. Este doar una
dintre numeroasele încercări de a statua teoria lui Kaluza-Klein pe baze
contemporane, pentru a o conduce spre un cadru teoretic cât mai potrivit
cercetărilor actuale. Pentru a descrie cât mai complet amplitudinea
teoretică a teoriei, ne vom referi la [Coquereaux, Jadczyk, 1988], unde se
spune că „oricine ar dori să construiască modele fizice
generalizând „vechea” teorie Kaluza-Klein, ar trebui să fie familiarizat
întâi cu anumite fapte de bază despre structura riemanniană a
grupurilor Lie şi a spaţiilor omogene.” Lucrarea citată
listează apoi întregul arsenal teoretic pe care cercetătorul l-ar
putea găsi util înainte de a aborda această clasă de probleme.
Pentru a ilustra mai bine importanţa ideii
ştiinţifice care îşi are originea în cercetările lui Th.
Kaluza şi ale lui O. Klein, vom reaminti aici că, aşa după
cum se cunoaşte, magnitudinea forţei gravitaţionale F între două obiecte
macroscopice la distanţă r unul faţă de cealălt
este proporţională cu pătratul distanţei. Dacă
universul ar avea încă o dimensiune spaţială, atunci aceasta
lege ar implica faptul că F ar
fi proporţională cu cubul distanţei r. În lucrarea
[Gabadadze, 2002] se menţionează că argumente similare pot fi
produse şi pentru a aborda realitatea microscopică a particulelor
elementare. În lucrarea citată, Gabadadze scrie că „s-a observat
că interacţiunile electromagmetice ale particulelor încărcate cu
sarcină respectă legea pătratului distanţei. Dar posibilităţile experimentelor
fizice sunt limitate [...]. De exemplu, nu s-a stabilit cum gravitaţia se
comportă la distanţe mai mici de cm, sau mai mari
decât cm. Tot ceea
ce ştim astăzi e că, între cele două limite numerice, legea
pătratului distanţei ne dă o aproximare suficient de bună
pentru descrierea interacţiunilor gravitaţionale nerelativiste, dar
legile naturii ar putea să fie diferite în afara intervalului considerat.
Un fapt similar se întâmplă pentru interacţiunile electromagnetice
pentru distanţe mai mari de cm, dar s-ar putea ca legile să nu mai
fie adevărate pentru distanţe mai mici. În prezent nu ştim exact
cum anume ar putea fi schimbate aceste legi în cazurile menţionate.”
În legătură cu aceste probleme există o
amplă literatură şi se desfăşoară în prezent
numeroase proiecte de cercetare. Mai mulţi autori au pornit în studiile
lor de la observaţia statuată de
Th. Kaluza şi O. Klein (vezi [Kaluza, 1921], şi respectiv
[Klein, 1926]), care au observat în a treia decadă a veacului XX că
interacţiunile electromagnetice şi gravitaţionale sunt similare,
şi că ele ar putea avea o origine comună. Aceasta a fost
motivaţia lor în a studia ideea că formularea principiului
unificării teoriei gravitaţiei a lui Einstein cu teoria
electromagnetismului e posibilă în mai multe dimensiuni. În esenţă, teoria lor lucrează
cu ipoteza că realitatea fizică
are structură de produs unde este spaţiul
clasic al lui Minkowski, iar este un cerc de rază R, în care
analogul ecuaţiilor lui Einstein în dimensiune 5 sunt respectate.
După contribuţiile sale din perioada 1919-1921,
Kaluza a continuat să producă idei despre teoria
relativităţii şi despre modelele nucleului atomic. În ciuda
aprecierii lui Albert Einstein pentru cercetarea sa şi contribuţiile
sale originale, Theodor Kaluza a rămas doar Privatdozent la Königsberg
până în 1929, când a devenit profesor la Kiel. Ulterior, în 1935, el a devenit
profesor plin la Göttingen, unde a rămas până la moartea sa, în
anul1954.
Contribuţiile lui Kaluza au fost multă vreme
neglijate, întrucât atenţia cercetătorilor a fost concentrată
mai mult pe mecanica cuantică (quantum mechanics). Ideea lui Kaluza,
şi anume că forţele fundamentale pot fi explicate într-un
context unitar dacă adăugăm contextului dimensiuni suplimentare,
nu a revenit în atenţia comunităţii ştiinţifice decât
recent, odată cu dezvoltarea aşa-numitei string theory. În
fapt, string theory este un model al fizicii care se bazează pe
presupunerea că cele mai elementare particule sunt obiecte
unidimensionale, ca nişte corzi infinitezimale care vibrează, o
presupunere cu totul diferită faţă de cea tradiţională,
care priveşte particulele fundamentale ca puncte materiale
zero-dimensionale.
În mecanica cuantică, problema cuantificării
gravitaţiei este încă deschisă. Construcţii precum
aşa-numitele teorii de string (ca de exemplu teoria M) pot fi
formulate consistent în 10 sau 11 dimensiuni (4 pentru spaţiul-timp real
şi 6 sau 7 pentru pentru câmpurile de interacţiuni). Dimensiunile „în
plus” sunt nedetectabile, întrucât au mărime mai mică decât constanta
lui Planck. În prezent s-au dezvoltat şi alte teorii în care dimensiunile
de câmp sunt „mari” (adică detectabile), problema numită „ierarhia
masei a lui Higgs''. Mai mult, problema „constantei cosmologice'', care e mai
dificil de prezentat în termeni elementari (e vorba despre un factor care se
obţine din ecuaţiile teoriei lui Einstein asupra relativităţii
generale), este abordată de teorii fizice în care dimensiunile de câmp au
volum infinit.
Vreme de decenii, mulţi cercetători au fost
atraşi de string theory întrucât această teorie pare a fi
capabilă să ofere o viziune unitară asupra forţelor naturale
reprezentate de câmpul gravitaţional şi cel electromagnetic,
descriindu-le prin acelaşi set de ecuaţii. Toate aceste direcţii
de cercetare sunt încă active, atrag atenţia cercetătorilor
şi multe proiecte de cercetare sunt încă în curs de
desfăşurare în fiecare dintre direcţiile amintite mai sus.
Bibliografie
[Appelquist
et al., 1987] Th. Appelquist, A. Chodos, P. G. O.Freund, Editors - Moders
Kaluza-Klein Theories, Addison-Wesley Co., 1987.
[Coquereaux,
Jadczyk, 1988] - Riemannian Geometry, Fiber Bundles, Kaluza-Klein Theories
and all that..., World Scientific, 1988.
[Duff,
1994] M. J. Duff - Kaluza-Klein Theory in perspective, http://xxx.lanl.gov,
9410046.
[Finkel,
1897] B. F. Finkel - Biography. Leonard Euler, Amer. Math. Monthly 4 (1897), 297-302.
[Gabadadze,
2002] Gregory Gabadadze - ICTP Lectures on Large Extra Dimensions, Based
on lectures given at Summer School on Astroparticle Physics and Cosmology,
Trieste, Italy, 2002; arXiv: hep-ph/0308112v1.
[Hermann,
1978] Robert Hermann - Yang-Mills, Kaluza-Klein, and the Einstein Program, Math
Sci Press, Brookline, Massachusetts, 1978.
[Kaluza,
1921] Th. Kaluza - Zum Unitätsproblem der Physik, Sitzungsber. Preuss. Akad.
Wiss. Phys., Math. Klasse 996 (1921),
966-972; retipărită cu traducere în engleză în [Appelquist et
al., 1987].
[Klein,
1926] O. Klein - Quantentheorie und fünfdimensionale Relativitätstheorie,, Zeits.
f. Physik, 37 (1926),
895-906; retipărită cu traducere în engleză în [Appelquist et
al., 1987].
[Nicolaescu,
2000] Liviu Nicolaescu - Notes on
Seiberg-Witten theory, Graduate Studies in Mathematics, No.28, American
Mathematical Society, Providence, RI, 2000.
[Overduin,
Wesson, 1998] J. M. Overduin, P. S. Wesson - Kaluza-Klein Gravity, Physics
Reports, 283 (1997),
303-378.
[Schmutzer,
1995] E. Schmutzer - Progress in the 5-dimensional projective unified theory -
relationaship to the Kaluza-Klein approach, Fortschr. Phys. 43 (1995), 965-998.
[Surin,
1965] Aline Surin - Étude du schéma fluide parfait et des équations de
mouvement dans les théories pentadimensionnelles de Jordan-Thiry et de Kaluza-Klein, Gauthiers-Villars, Paris,
1965.